Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.

   Решение

---

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

   Решение

---

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

   Решение

---

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

   Решение

---

Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.

   Решение

---

Решите уравнение  3x + 5y = 7  в целых числах.

   Решение

---

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

---

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

   Решение

---

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

   Решение

---

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

---

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

   Решение

---

Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором BAC = 30^o, ACD = 40^o, ADB = 50^o, CBD = 60^o и ABC + ADC = 180^o.

   Решение

---

На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
  S₁ – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
  S₂ – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что  S₁ ≠ S₂.

   Решение

---

Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

   Решение

---

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.

   Решение

---

Решите в целых числах уравнение  1990x – 173y = 11.

   Решение

---

Известно, что выражение  14x + 13y  делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что  19x + 9y  также делится на 11 при таких x и y.

   Решение

---

Придайте смысл равенству   = (–1)^1/i ≈ 23¹/₇.

   Решение

---

Доказать, что для любого натурального n число  6²⁽ⁿ⁺¹⁾ − 2ⁿ⁺³·3^{n + 2} + 36  делится на 900.

   Решение

---

Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

   Решение

---

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках  A₁, B₁, C₁. Докажите, что если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то треугольник ABC правильный.

   Решение

---

Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

   Решение

Страница: << 104 105 106 107 108 109 110 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 34981

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Системы точек и отрезков ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Известно, что в выпуклом n-угольнике  (n > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35010

Темы:   [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3- Классы: 9

Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35026

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8,9

Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35067

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35109

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Из десятизначного числа 2946835107 вычеркнули 5 цифр. Какое наибольшее число могло в результате этого получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 104 105 106 107 108 109 110 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями