Параграфы:
-
Вводные задачи
(5 задач)
параграф 1. Медиана делит площадь пополам
(7 задач)
параграф 2. Вычисление площадей
(6 задач)
параграф 3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
(4 задачи)
параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник
(8 задач)
параграф 5. Разные задачи
(10 задач)
параграф 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
(7 задач)
параграф 7. Формулы для площади четырехугольника
(4 задачи)
параграф 8. Вспомогательная площадь
(14 задач)
параграф 9. Перегруппировка площадей
(4 задачи)
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Дан тетраэдр ABCD . Все плоские углы при вершине D – прямые; DA = 1 , DB = 2 , DC = 3 . Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D .
Решение
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
Решение
Решение
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; P и Q — произвольные точки. Докажите, что
= 
. 
.
Решение
Убрать все задачи
Дан тетраэдр ABCD . Все плоские углы при вершине D – прямые; DA = 1 , DB = 2 , DC = 3 . Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D .
РешениеПусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
РешениеДоказать, что в двудольном плоском графе E ≥ 2F, если E ≥ 2 (E – число рёбер, F – число областей).
РешениеДиагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; P и Q — произвольные точки. Докажите, что
Решение
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 69]
Середины диагоналей
AC, BD, CE,... выпуклого
шестиугольника ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник.
Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади
исходного шестиугольника.
Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS
пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности,
а точка B — внутри окружности, причем
BC || PQ и BC = RA.
Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на
прямую CQ. Докажите, что
SACK = SBCL.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; P и
Q — произвольные точки. Докажите, что
= . .
Через точку O, лежащую внутри треугольника ABC,
проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки AA1, BB1
и CC1
разбивают треугольник ABC на четыре треугольника и три
четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников,
прилегающих к вершинам A, B и C, равна площади четвертого
треугольника.
На биссектрисе угла A треугольника ABC взята
точка A1 так, что
AA1 = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A1
проведена прямая la, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично
провести прямые lb и lc, то треугольник ABC разобьется на
части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного
из этих треугольников равна сумме площадей трех других.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 69]
Задача 56781 (#04.031) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 56782 (#04.032) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56783 (#04.032B) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56784 (#04.033) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56785 (#04.034) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 69]
