ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что  ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α.  Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 176]      



Задача 55462  (#05.050)

Темы:   [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56887  (#05.051)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Периметр треугольника ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56888  (#05.052)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC1D1 и A2BCD2.
Докажите, что точка пересечения прямых AD2 и CD1 лежит на высоте BH.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56889  (#05.053)

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 – длины сторон треугольника A1B1C1, S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1. Докажите, что:
  а)  
  б)   S1S = 1/8 (a² + b² + c²).

Прислать комментарий     Решение

Задача 56890  (#05.054)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что  ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α.  Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 176]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .