Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 6. Разные задачи
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что  AH² + BC² = 4R²  и  AH = BC |ctg α|.

Вниз   Решение

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

ВверхВниз   Решение

Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.

ВверхВниз   Решение

Прожектор освещает угол величиной 90o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

ВверхВниз   Решение

Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ...  =  (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)...  =  (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1...

(По определению считается, что  p(0) = 1.)

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Автор: Маркелов С.В.

Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.

ВверхВниз   Решение

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

ВверхВниз   Решение

На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно стороне AB (D и E — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что SBDEF = 2$ \sqrt{S_{ADE}\cdot S_{EFC}}$.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.

ВверхВниз   Решение

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга CD имеет данную величину $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A1BC, AB1C и ABC1 с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C – в точке B2, AB1 и A1B – в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3α, 3β и 3γ.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 56877

Тема:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56879

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Периметр треугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56894

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A1BC, AB1C и ABC1 с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C – в точке B2, AB1 и A1B – в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3α, 3β и 3γ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56878

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56880

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что  AH² + BC² = 4R²  и  AH = BC |ctg α|.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .