Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 176]

Задача 56931 (#05.082.2)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56932 (#05.083)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$ .

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle$ CAM = $\angle$ ABN и $\angle$ CBM = $\angle$ BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56933 (#05.084)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что $\angle$ MBB₁ = $\angle$ NBB₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56934 (#05.085)

[Прямая Симсона]

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56935 (#05.086)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 176]