Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 176]

Задача 56936 (#05.087)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем DM $\perp$ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56937 (#05.088)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом $\alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90^o на угол $\alpha$ она повернется на угол 90^o - $\alpha$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56938 (#05.089)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что PA^.PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть $\alpha$ — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что cos $\alpha$ = PA/2R.

Прислать комментарий Решение

Задача 56939 (#05.090)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56940 (#05.091)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 176]