Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 176]      

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA₁.

Прислать комментарий

Решение

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом  к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла  90^o на угол  она повернется на угол  90^o - .

Прислать комментарий

Решение

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что  PA ^. PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть  — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что  cos = PA/2R.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

Прислать комментарий

Решение

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 176]