В правильном n-угольнике  (n ≥ 3)  отмечены середины всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?

   Решение

В треугольнике ABC сторона c наибольшая, а a наименьшая. Докажите, что  l_c h_a.

   Решение

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной прямой.

   Решение

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что при  n ≥ 6  правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

   Решение

Дан треугольник ABC и такая точка F, что  ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA.  Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

   Решение

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

   Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

   Решение

Сумма трёх чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что  a⁵ + b⁵ + c⁵  также делится на 30.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла A?

   Решение

На окружности радиуса a дана точка. С помощью монеты радиуса a постройте точку, диаметрально противоположную данной.

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 101]      

Даны точки A и B, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок AB. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)

Прислать комментарий

Решение

На окружности радиуса a дана точка. С помощью монеты радиуса a постройте точку, диаметрально противоположную данной.

Прислать комментарий

Решение

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

Прислать комментарий

Решение

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на n равных частей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 101]