Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD — точки C₁ и D₁, причем AA₁ = BB₁ = pAB и CC₁ = DD₁ = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что S_{A₁B₁C₁D₁}/S_ABCD = 1 - 2p.

Решение

а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

Решение

Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

Решение

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

Решение

Докажите, что ${\frac{1}{ab}}$ + ${\frac{1}{bc}}$ + ${\frac{1}{ca}}$ = ${\frac{1}{2Rr}}$ .

Решение

Задача 57612 (#12.029B)

Задача 57613 (#12.030)

Задача 57614 (#12.031)

Задача 57615 (#12.032)

Задача 57616 (#12.033)