Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 20. Принцип крайнего
>>
параграф 6. Разные задачи
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
пересекаются тогда и только тогда, когда
| R - r| < d < R + r.
Докажите, что
SABCD (AB . BC + AD . DC)/2.
Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2
касаются в точке A. Через точку A проведена прямая,
пересекающая S1 в точке A1 и S2 в точке A2. Докажите,
что
O1A1 || O2A2.
На отрезке длиной 1 дано n точек. Докажите, что
сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не
меньше n/2.
Остроугольный треугольник расположен внутри
окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной
окружности треугольника.
Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
В лесу растут деревья цилиндрической формы.
Связисту нужно протянуть провод из точки A в точку B,
расстояние между которыми равно l. Докажите, что для
этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6l.
Докажите тождество:
1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD
и углы A и C. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?
На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выиграл первый игрок, если двойка – то второй.
а) Диагонали AC и BE правильного
пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная
окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что
d2 = a2 + ad.
Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
Докажите, что биссектрисы углов выпуклого
четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.
Докажите, что
SABC AB . BC/2.
Окружности S1 и S2 касаются окружности S
внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек
пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB.
Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна
радиусу окружности S.
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на
одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников
с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 73871 (#20.027) |
|
|
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
|
|
Решение |
Задача 58075 (#20.028) |
|
|
Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков
так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго
внутрь других отрезков?
|
|
|
Решение |
Задача 58076 (#20.029) |
|
|
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на
одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников
с вершинами в этих точках не является остроугольным.
|
|
Решение |
Задача 58077 (#20.030) |
|
|
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины
каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m),
(n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа
(свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников
можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
|
|
|
Решение |
Задача 58078 (#20.030B) |
|
|
На плоскости дано n точек, причем любые три
из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что
тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
