ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O,
прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1
и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2.
Докажите, что прямые AB1, BA1 и CC1 тоже пересекаются
в одной точке O3 (теорема о трижды перспективных треугольниках).
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток. Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или
прямой) S1 в точках B1 и C1, а окружности (или прямой) S2
в точках B2 и C2 (причем касание в B2 и C2 такое же,
как в B1 и C1). Докажите, что окружности, описанные вокруг
треугольников AB1C1 и AB2C2, касаются друг друга.
Существует ли треугольник, у которого все высоты
меньше 1 см, а площадь больше 1
м2?
Докажите, что
la В квадрате со стороной 1 расположена фигура,
расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001.
Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит:
а) 0, 34; б) 0, 287.
С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.
Точки K и M — середины сторон AB и CD
выпуклого четырехугольника ABCD, точки L и N расположены на
сторонах BC и AD так, что KLMN — прямоугольник.
Докажите, что площадь четырехугольника ABCD вдвое
больше площади прямоугольника KLMN.
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри
треугольника до его вершин не меньше 6r.
Докажите, что:
На каждой стороне параллелограмма взято по точке.
Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине
площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей
четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD существует
такая точка O, что площади треугольников
OAB, OBC, OCD и ODA равны.
Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит
по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния
между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности
попарные расстояния не изменились.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Дан выпуклый 2n-угольник A1...A2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит
по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния
между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности
попарные расстояния не изменились.
Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество
полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их
сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что
p - q + r = 1.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке