Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 31. Эллипс, парабола, гипербола >> параграф 8. Коники, связанные с треугольником
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

Вниз   Решение

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $ \alpha$ = SBXC, $ \beta$ = SCXA и  $ \gamma$ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ равна ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$)d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

ВверхВниз   Решение

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что множество точек, равноудаленных от данной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.

ВверхВниз   Решение

Пусть a = (a1, a2) и  b = (b1, b2). Докажите, что a $ \vee$ b = a1b2 - a2b1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны прямая l и точки A и B, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки A и B так, чтобы прямая l высекала на ней хорду наименьшей длины.

ВверхВниз   Решение

Даны прямая l и точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. На прямой l берем точку M и в треугольнике PQM проводим высоты PP' и QQ'. При каком положении точки M длина отрезка P'Q' минимальна?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
а) ($ \lambda$a) $ \vee$ b = $ \lambda$(a $ \vee$ b);
б) a $ \vee$ (b + c) = a $ \vee$ b + a $ \vee$ c.

ВверхВниз   Решение

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

ВверхВниз   Решение

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем $ \angle$AKB = 90o. Докажите, что AB = 2R.

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.


б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px2 + qy2 + rz2 = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$xy±$\displaystyle \sqrt{pr}$xz±$\displaystyle \sqrt{qr}$yz).


Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

  с решениями  

Задача 58543  (#31.076)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.


б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px2 + qy2 + rz2 = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$xy±$\displaystyle \sqrt{pr}$xz±$\displaystyle \sqrt{qr}$yz).


Прислать комментарий     Решение

Задача 58544  (#31.077)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + q$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + r$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p)$\displaystyle \bigr)$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58545  (#31.078)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58546  (#31.079)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58547  (#31.080)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .