Версия для печати
Убрать все задачи

---

Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек

те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, угадать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63?

   Решение

---

Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз?
б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт?

   Решение

---

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

   Решение

---

Для последовательности {a_n}

Докажите, что a_n = 0.

   Решение

---

Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

   Решение

---

Докажите, что для плоского связного графа справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

   Решение

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

---

Найдите предел последовательности, которая задана условиями

   Решение

---

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79423  (#05.011)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ] [ Десятичные дроби ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60850  (#05.012)

Темы:   [ Двоичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что среди чисел  [2^k]  (k = 0, 1, ...)  бесконечно много составных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60851  (#05.013)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60852  (#05.014)  [Метод спуска]

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнения
  а)  8x⁴ + 4y⁴ + 2z⁴ = t⁴;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3ⁿ = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60853  (#05.015)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнение  x³ + x²y + y³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями