Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?

Вниз   Решение


Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.

Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

ВверхВниз   Решение


Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d2 = R12 + R22.

ВверхВниз   Решение


В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.
  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

ВверхВниз   Решение


100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

ВверхВниз   Решение


Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
      ...
    p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и  deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).

ВверхВниз   Решение


Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 141]      



Задача 60969  (#06.046)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x81 + x27 + x9 + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60970  (#06.047)

Тема:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что многочлен  P(x) = (x + 1)6x6 – 2x – 1  делится на  x(x + 1)(2x + 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60971  (#06.048)

Тема:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60972  (#06.049)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  x³ + y³ + z³ + kxyz  делилось на  x + y + z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60973  (#06.050)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

При каких n многочлен  1 + x² + x4 + ... + x2n–2  делится на  1 + x + x2 + ... + xn–1?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 141]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .