Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?

Вниз   Решение


Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.

Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

ВверхВниз   Решение


Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d2 = R12 + R22.

ВверхВниз   Решение


В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.
  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

ВверхВниз   Решение


100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

ВверхВниз   Решение


Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
      ...
    p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и  deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 141]      



Задача 60974  (#06.051)

 [Китайская теорема об остатках для многочленов]
Темы:   [ Китайская теорема об остатках ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
      ...
    p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и  deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60975  (#06.052)

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)17(3x² – 3x + 1)17.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60976  (#06.053)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60977  (#06.054)

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60978  (#06.055)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найдите остаток R(x) от деления многочлена  xn + x + 2  на  x² – 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 141]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .