Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 11. Последовательности и ряды
- параграф 1. Конечные разности (30 задач)
- параграф 2. Рекуррентные последовательности (29 задач)
- параграф 3. Производящие функции (32 задачи)
- параграф 4. Многочлены Гаусса (8 задач)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.
a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².
Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.
Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.
Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.
Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и
P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).
Сколько цифр у числа 21000?
На сколько нулей оканчивается число 9999 + 1?
Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
Докажите, что для произвольных a, b, с равенство выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство
.
Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:
Задачи Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 100]
Задача 61478 (#11.051) |
|
|
Докажите, что при всех натуральных n
выполняется сравнение
[(1 + )n]
n(mod 2).
|
|
Решение |
Задача 61479 (#11.052) |
|
|
Докажите, что последовательность an = 1 + 17n² (n ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 61480 (#11.053) |
|
|
Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:
|
|
Решение |
Задача 61481 (#11.054) |
|
|
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
|
|
|
Решение |
Задача 61482 (#11.055) |
|
|
Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни
x1,..., xk, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x1, ..., xm с кратностями α1, ..., αm соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в
справочнике.
|
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 100]
