ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 3. Производящие функции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n2 правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Вниз   Решение

В четырёхугольной пирамиде SKLMN с вершиной S боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30o . Известно, что KN=6 , MN=2 , KNM = 90o , KLM = 60o . Найдите высоту пирамиды, если её основание лежит внутри четырёхугольника KLMN .

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)

ВверхВниз   Решение

Докажите, что бесконечная сумма

  0, 1
+ 0, 01
+ 0, 002
+ 0, 0003
+ 0, 00005
+ 0, 000008
+ 0, 0000013
  ...

сходится к рациональному числу.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

Задача 61503  (#11.076)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

  0, 1
+ 0, 01
+ 0, 002
+ 0, 0003
+ 0, 00005
+ 0, 000008
+ 0, 0000013
  ...

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61504  (#11.077)

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и (см. задачу 61502).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61505  (#11.078)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Вычислите суммы
а) $ \sum\limits_{n=0}^{\infty}$$ {\dfrac{F_n}{2^n}}$;        б) $ \sum\limits_{n=0}^{\infty}$$ {\dfrac{L_n}{2^n}}$.
Здесь Ln обозначает числа Люка, смотри задачу 3.133.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61506  (#11.079)

 [Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка]
Темы:   [ Производящие функции ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка   L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61507  (#11.080)

 [Производящие функции многочленов Чебышева]
Темы:   [ Производящие функции ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам