Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

   Решение

---

Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников совпадают. Докажите, что их площади равны.

   Решение

---

а) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP. Найдите площадь треугольника ADP.
б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

   Решение

---

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64401  (#10.1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64402  (#10.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64403  (#10.3)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Выход в пространство ] [ Окружность Аполлония ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64404  (#10.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64405  (#10.5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями