Версия для печати
Убрать все задачи

---

Число    представили в виде несократимой дроби.
Докажите, что если  3n + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3n + 1.

   Решение

Страница: << 253 254 255 256 257 258 259 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55754

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Композиции поворотов ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).

Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64452

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64453

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Число    представили в виде несократимой дроби.
Докажите, что если  3n + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64523

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64528

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 253 254 255 256 257 258 259 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями