Версия для печати
Убрать все задачи
Количество перестановок множества из n элементов обозначается Pn. Докажите равенство Pn = n!.
Решение
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Решение
Даны два пересекающихся луча
AС и
BD. На этих лучах выбираются точки
M и
N (соответственно) так, что
AM =
BN. Найти положение точек
M и
N, при котором длина отрезка
MN минимальна.
Решение
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника
A1A2...
A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Решение
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.
Решение
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),
а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Решение
Известно, что 
. Какие значения может принимать выражение 
?
Решение
Фильтр
