Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
- Заочный тур (25 задач)
- 8 класс (8 задач)
- 9 класс (8 задач)
- 10 класс (8 задач)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
План города имеет схему, изображенную на рисунке.
На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".
Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки A в точку B.
В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL – биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.
Даны окружность, ее диаметр AB и точка P.
С помощью одной линейки проведите через точку P перпендикуляр к прямой AB.
При каких n многочлен (x + 1)n – xn – 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Докажите, что число 11...11 (2n единиц) – составное.
Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E1; продолжения сторон BC и DE – в точке A1. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE1C, пересекает ω в точке B1; аналогично определяется точка D1. Докажите, что B1D1 || AE.
Докажите, что число a1a2...anan...a2a1 – составное.
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево.
При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: =
–
θ (0 < θ < 1).
б) Докажите тождество: =
.
Знатоки и Телезрители играют в "Что? Где? Когда" до шести побед – кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом 3 : 4. Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.
Докажите, что угол величиной no, где n —
целое число, не делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с
помощью циркуля и линейки.
Найдите все корни уравнения (z – 1)n = (z + 1)n.
Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?
Решите уравнение 2x + 3y + 3z = 11 в целых числах.
Существует ли такое трехзначное число , что
является квадратом натурального числа?
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]
Задача 64749 (#10.8) |
|
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 65009 (#8) |
|
|
В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
|
|
|
Решение |
Задача 65010 (#9) |
|
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
|
|
Решение |
Задача 65011 (#10) |
|
Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.
|
|
|
Решение |
Задача 65012 (#11) |
|
|
Выпуклый n-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше чем n, у третьего – меньше чем n.
Каковы возможные значения n?
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]
