Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов) >> 2 (2010 год)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Женодаров Р.Г.

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

Вниз   Решение

Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

ВверхВниз   Решение

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $ \geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к  ,  то есть  Fn = + .

ВверхВниз   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

ВверхВниз   Решение

Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек.
Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?

ВверхВниз   Решение

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?

ВверхВниз   Решение

Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

ВверхВниз   Решение

Решите в целых числах уравнения:   а)  x² – xy – y² = 1;   б)  x² – xy – y² = –1.

ВверхВниз   Решение

В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).

ВверхВниз   Решение

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее Fm, единственным образом можно представит в виде

n = $\displaystyle \sum\limits_{k=2}^{m}$bkFk,

где все числа b2, ..., bm равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть bkbk + 1 = 0 (2 $ \leqslant$ k $ \leqslant$ m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

n = (bk...b2)F.


ВверхВниз   Решение

Докажите по индукции формулу Бине:

Fn = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$,

где $ \varphi$ = $ {\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $ \widehat{\varphi}$ = $ {\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?

ВверхВниз   Решение

Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими.
Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Докажите, что для произвольных a, b, с равенство     выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство   .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

Задача 65078

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что  AC = AK.  Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65080

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Храмцов Д.

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65081

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны,  CD = 4BC,  а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение  AD : AB?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65082

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Докажите, что для произвольных a, b, с равенство     выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство   .

Прислать комментарий     Решение

Задача 65079

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .