ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Этапы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими? Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать? Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
В вершинах правильных многоугольников
записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких
многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n
(
n Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к Докажите следующий вариант формулы Бине: Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б? Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их? Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками). Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее Fm, единственным образом можно представит в виде
n = где все числа b2, ..., bm
равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц
стоящих рядом, то есть
bkbk + 1 = 0
(2
n = (bk...b2)F.
Докажите по индукции формулу Бине:
Fn = где
Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей. Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими. Докажите, что для произвольных a, b, с равенство |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что AC = AK. Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.
На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны, CD = 4BC, а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Докажите, что для произвольных a, b, с равенство
В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке