Через точки A и B проведены окружности S₁ и S₂, касающиеся окружности S, и окружность S₃, перпендикулярная S. Докажите, что S₃ образует равные углы с окружностями S₁ и S₂.

   Решение

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

   Решение

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Известно, что = , = . Найдите векторы , , и , где M — середина стороны EF.

   Решение

Данной окружности касаются две равных меньших окружностей — одна изнутри, другая извне, причём дуга между точками касания содержит 60^o. Радиусы меньших окружностей равны r, радиус большей окружности равен R. Найдите расстояние между центрами меньших окружностей.

   Решение

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что BAX = CDX = 90^o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

   Решение

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

   Решение

Окружность касается двух параллельных прямых l и m в точках A и B соответственно; CD — диаметр окружности, параллельный этим прямым. Прямая BC пересекает прямую l в точке E, а прямая ED — прямую m в точке F. Найдите углы треугольника BEF.

   Решение

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

   Решение

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны углы: BAC = 20^o, BCA = 35^o, BDC = 40^o, BDA = 70^o. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.

   Решение

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

   Решение

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a² + ¹/_b² + ¹/_c² + ¹/_d² ≤ ¹/_a²b²c²d².

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Квадрат разбит на  n² ≥ 4  прямоугольников  2(n – 1)  прямыми, из которых  n – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  n – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.

Прислать комментарий

Решение

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a² + ¹/_b² + ¹/_c² + ¹/_d² ≤ ¹/_a²b²c²d².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]