ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Докажите неравенство xαyβ ≤ αx + βy для положительных значений переменных при условии, что α + β = 1 (α, β > 0). Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc. Все углы треугольника ABC меньше
120o.
Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны
треугольника видны под углом
120o.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c). Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c). На плоскости даны три вектора
a,
b,
c, причем
Дан треугольник ABC. Докажите, что существует
два семейства правильных треугольников, стороны которых
(или их продолжения) проходят через точки A, B и C.
Докажите также, что центры треугольников этих семейств
лежат на двух концентрических окружностях.
Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C
хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB
в точке C и пересекающей окружность S в точках P
и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ.
Докажите, что положение точки M не зависит от выбора
окружности S'.
Докажите неравенство Чебышёва Докажите неравенство (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²) при a, b, c, d ∈ [0, 1]. Докажите неравенство (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc для положительных значений переменных. Докажите, что если a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an, b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn, то наибольшая из сумм вида a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn
(k1, k2, ..., kn – перестановка чисел Докажите неравенство для положительных значений переменных: x4 + y4 + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1). Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре
построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K. Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний. Докажите для положительных значений переменных неравенство Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC. |
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.
Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке