Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите неравенство  xαyβ ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Вниз   Решение


Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.

ВверхВниз   Решение


a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

ВверхВниз   Решение


Все углы треугольника ABC меньше  120o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120o.


ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три вектора a, b, c, причем $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство Чебышёва     при условии, что   a1a2 ≥ ... ≥ an   и
b1b2 ≥ ... ≥ bn.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство   (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²)  при  a, b, c, d ∈ [0, 1].

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство  (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc  для положительных значений переменных.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если   a1a2 ≥ ... ≥ an,   b1b2 ≥ ... ≥ bn,   то наибольшая из сумм вида   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn     (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   а наименьшая – сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   x4 + y4 + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника.

ВверхВниз   Решение


На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K.
Найдите CK, если  AC = 2  и  ∠A = 30°.

ВверхВниз   Решение


Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

ВверхВниз   Решение


Докажите для положительных значений переменных неравенство  .

ВверхВниз   Решение


Автор: Якубов А.

Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  MAHB = MAHC,  MBHA = MBHC,  MCHA = MCHB.  Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 65804  (#21)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Покрытия ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65810  (#22)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Выход в пространство ]
[ Равногранный тетраэдр ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  MAHB = MAHC,  MBHA = MBHC,  MCHA = MCHB.  Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65811  (#23)

Темы:   [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Касающиеся сферы ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 65812  (#24)

Темы:   [ Cфера, вписанная в призму ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Точка Торричелли ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .