Фильтр
Выбрано 18 задач Убрать все задачи
Найдите (xn – 1, xm – 1).
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.
Докажите, что .
На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен
перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и
окружности S1 с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.
Даны диаметр AB окружности и точка C, не лежащая
на прямой AB. С помощью одной линейки (без циркуля)
опустите перпендикуляр из точки C на AB, если:
а) точка C не лежит на окружности;
б) точка C лежит на окружности.
Колоду из 52 карт разложили в виде прямоугольника 13×4. Известно, что если две карты лежат рядом по вертикали или горизонтали, то они одной масти либо одного достоинства. Докажите, что в каждом горизонтальном ряду (из 13 карт) все карты одной масти.
Докажите справедливость формулы
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A0(x), A1(x), ..., As(x) и R1(x), ..., Rs(x), что degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
...
Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и (P(x), Q(x)) = Rs(x).
Среднее арифметическое четырёх чисел равно 10. Если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся трёх увеличится на 1, если вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое оставшихся чисел увеличится на 2, а если вычеркнуть третье число, то среднее арифметическое оставшихся увеличится на 3. Как изменится среднее арифметическое трёх оставшихся чисел, если вычеркнуть четвёртое число?
а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены
правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный
треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников,
полученных в задачах а) и б), равна площади
исходного треугольника.
При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn + axn–2 (n ≥ 2) делится на x – 2 ?
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
После хоккейного матча Антон сказал, что он забил 3 шайбы, а Илья только одну. Илья сказал, что он забил 4 шайбы, а Серёжа целых 5. Серёжа сказал, что он забил 6 шайб, а Антон всего лишь две. Могло ли оказаться так, что втроём они забили 10 шайб, если известно, что каждый из них один раз сказал правду, а другой раз солгал?
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
Доказать, что
а) из связного графа можно выкинуть несколько рёбер так, чтобы осталось дерево;
б) в дереве с n вершинами ровно n – 1 ребро;
в) в дереве не меньше двух висячих вершин;
г) в связном графа из n вершин не меньше n – 1 ребра;
д) если в связном графе n вершин и n – 1 ребро, то он – дерево.
a, b, c ≥ 0. Докажите, что .
а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A
и B. Степень точки P окружности S1 относительно окружности S2
равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а
расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите,
что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей
треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите,
что
| pa| SBCD = | pb| SACD.
Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?
Задачи Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 557]
Задача 65957 |
|
|
Известно, что значения выражений b/a и b/c находятся в интервале (–0,9, –0,8). В каком интервале лежат значения выражения c/a?
|
|
Решение |
Задача 65958 |
|
|
Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?
|
|
|
Решение |
Задача 65983 |
|
|
В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?
|
|
|
Решение |
Задача 66125 |
|
|
Простым или составным является число 100² + 201?
|
|
|
Решение |
Задача 66284 |
|
|
Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?
|
|
Решение |
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 557]
