- 8 класс (6 задач)
- 9 класс (6 задач)
- 10 класс (6 задач)
- 11 класс. Первый день (6 задач)
- 11 класс. Второй день (5 задач)
Фильтр
Выбрано 26 задач Убрать все задачи
Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB
треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и
BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем
AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC
окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN
к площади треугольника MPB равно
15)/(5
).
Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
У пирата есть пять мешочков с монетами, по 30 монет в каждом. Он знает, что в одном лежат золотые монеты, в другом – серебряные, в третьем – бронзовые, а в каждом из двух оставшихся поровну золотых, серебряных и бронзовых. Можно одновременно достать любое число монет из любых мешочков и посмотреть, что это за монеты (вынимаются монеты один раз). Какое наименьшее число монет нужно достать, чтобы наверняка узнать содержимое хотя бы одного мешочка?
Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC,
DD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC1 и диагональ DB1?
в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?
Пусть E и F — середины сторон AB и CD четырехугольника
ABCD, K, L, M и N — середины отрезков AF, CE,
BF и DE. Докажите, что KLMN — параллелограмм.
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника $M$ расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если
а) $M$ – квадрат $21\times21$;
б) $M$ – прямоугольник $20\times21$?
Докажите, что если
а) a, b и c – положительные числа, то
б) a, b, c и d – положительные числа,
в) a1, ..., an – положительные числа (n > 1), то
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону MN, если KQ = 6, NQ = 4, а площади треугольника LQM и четырёхугольника KLMN равны.
а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC
опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите,
что
PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите,
что
cos
= PA/2R.
На стороне ВС равностороннего треугольника АВС отмечена точка D. Точка Е такова, что треугольник BDE – также равносторонний.
Докажите, что CE = AD.
В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.
В треугольнике KLM точка B — центр вписанной окружности, а
точка C — центр окружности, описанной около треугольника KLM.
Прямая BC перпендикулярна биссектрисе MB треугольника KLM.
Известно, что угол BMC равен . Найдите углы
треугольника KLM.
В ромбе ABCD ∠А = 120°. На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.
На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно так, что AK = CL и ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Докажите, что KL = BC.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AD и
EC пересекаются в точке O. Отношение радиуса окружности,
вписанной в треугольник AOC, к радиусу окружности, вписанной в
четырёхугольник ODBE, равно
. Найдите отношение
.
Существует ли невырожденный треугольник АВС, для углов которого выполняется равенство: sinA + sinB = sinC?
Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.
На кафтане площадью 1 размещены
Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём BP : PC = 1 : 2 и BQ : QC = 4 : 1. Точка R расположена на продолжении стороны AC, а точка L является серединой той же стороны. При этом C принадлежит отрезку AR и AC : CR = 2 : 1. Найдите отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T являются точками пересечения прямой BR с прямыми LQ и AP соответственно.
На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что SABCD ≥ 3SBCM.
На стороне правильного восьмиугольника во внешнюю сторону построен квадрат. В восьмиугольнике проведены две диагонали, пересекающиеся в точке $B$ (см. рисунок). Найдите величину угла $ABC$. (Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.)
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Задача 66550 (#1) |
|
|
Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.)
|
|
Решение |
Задача 66556 (#1) |
|
|
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?
|
|
|
Решение |
Задача 66562 (#1) |
|
|
Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.
|
|
|
Решение |
Задача 66568 (#1) |
|
|
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
|
|
Решение |
Задача 66574 (#1) |
|
|
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
