Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.

   Решение

---

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66675

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66677

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дана окружность $\omega$ и ее хорда $BC$. Точка $A$ движется по большей из дуг $BC$. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $D$, $E$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$, что $H$ – середина отрезка $DE$, $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $ADE$. Докажите, что все точки $O_A$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66784

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66786

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66802

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями