Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66973

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$ . На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$ , проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66969

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Прислать комментарий Решение

Задача 66970

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66971

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Точка Торричелли	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Дидин М., Фролов И.И.

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$ , такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$ . Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$ . Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66974

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

Диагонали трапеции $ABCD$ ( $BC\parallel AD$ ) пересекаются в точке $O$ . На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ . К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$ ; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$ . Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]