Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 915]

Задача 66971

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Точка Торричелли	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Дидин М., Фролов И.И.

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66974

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) пересекаются в точке $O$. На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$. К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$. Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66975

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Построения (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Дидин М., Ивлев Ф., Фролов И.И.

На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?

Прислать комментарий Решение

Задача 66978

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66979

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кноп К.А., Челноков Г.Р.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 915]