Версия для печати
Убрать все задачи

---

На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 12 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из остальных. Какое наименьшее количество ответов «да» могло быть получено?

   Решение

---

На доске написаны два натуральных числа, одно из которых получается из другого перестановкой цифр. Может ли их разность равняться $2025$? (Запись натурального числа не может начинаться с нуля.)

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.

   Решение

---

На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Луч $AD$ пересекает прямую, проходящую через вершину $B$ и параллельную основанию $AC$, в точке $E$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $ABD$ в точке $B$ делит отрезок $EC$ пополам.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67239

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Наглядная геометрия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67242

Тема:   [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Луч $AD$ пересекает прямую, проходящую через вершину $B$ и параллельную основанию $AC$, в точке $E$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $ABD$ в точке $B$ делит отрезок $EC$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67238

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67240

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67243

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Пусть $H$ и $M$ – точка пересечения высот и середина стороны $BC$ соответственно. Прямая $HM$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $BHC$, в точке $N\not=H$. На дуге $BC$ окружности $\omega$, не содержащей точку $H$, нашлась точка $P$ такая, что $\angle HMP=90^{\circ}$. Отрезок $PM$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точке $A$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $AB'C'$ и $PQN$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями