Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём натуральное число $n$ интересным, если $n$ и $n+2023$ – палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа.

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116372

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прямоугольник площади 14 делит сторону квадрата в отношении 1 к 3 (см. рис). Найдите площадь квадрата.

Решение

  Два серых треугольника подобны (по трём углам). При этом гипотенуза меньшего из них равна x, а гипотенуза большего есть    – то есть их стороны относятся как  1 : 5.  Значит, катеты меньшего треугольника равны ^3x/₅ и ^4x/₅.
  Поэтому площадь прямоугольника равна  (5 + ⅗)x·^4x/₅ = ¹¹²/₂₅ x².  Значит,  x² = ²⁵/₈,  а искомая площадь есть  (4x)² = 16·²⁵/₈ = 50.

Ответ

50.

Прислать комментарий

---

Задача 116810

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?

Решение

Чтобы построить пример, нужно взять какую-нибудь фигуру с четырьмя осями симметрии и выкинуть из неё клетку, не лежащую ни на одной из этих осей. Например, четыре оси симметрии имеет квадрат (см. рис. слева). Так получается пример в центре.
Есть и другие примеры (например, на рисунке справа).

Ответ

Могло.

Прислать комментарий

---

Задача 116811

Темы:   [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто – мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола – тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?

Решение

Пусть в классе всего 7 человек, причем двое имеют по математике только пятёрки и смотрят только мультфильмы, трое имеют по математике только тройки, а смотрят и то и другое, и еще двое имеют по математике пятёрки, но смотрят только футбол. Тогда средний балл каждой из двух групп меньше 4 (в каждой "отличников" меньше, чем "троечников"), а общий средний балл больше 4 ("отличников" больше, чем "троечников").

Ответ

Может.

Прислать комментарий

---

Задача 67273

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Назовём натуральное число $n$ интересным, если $n$ и $n+2023$ – палиндромы, то есть числа, одинаково читающееся слева направо и справа налево. Найдите наименьшее и наибольшее интересные числа.

Решение

Найдём наименьшее интересное число. Посмотрим для начала, может ли интересное $n$ быть настолько малым, чтобы выполнялось $n+2023 \leqslant 2999$, т.е. $n \leqslant 976$. В этом случае $n+2023$ заключено между $2023$ и $2999$, и потому начинается на $2$ — а значит, и заканчивается тоже. Раз сумма $n+2023$ заканчивается на $2$, само $n$ заканчивается на $9$. Отметим, что $n$ не может быть ни однозначным ($2023+9=2032$ — не палиндром), ни двузначным (тогда оно было бы равно $99$, а $2023+99=2122$ — не палиндром). Значит, $n$ трёхзначное, и имеет вид $9\rm{?}9$. Но тогда сумма $n+2023$ не меньше $2900$, и значит, должна равняться $2992$. Вычитая, находим $n=2992-2023=969$. Итак, $n=969$ — это наименьшее интересное число.

Найдём теперь наибольшее интересное число. Предположим, $n$ – пятизначное или более. При добавлении $2023$ либо количество цифр увеличится, и тогда первая цифра изменится с $9$ на $1$, то есть на $2$ (с переходом через десяток), либо количество цифр останется прежним, и тогда первая цифра не изменится или изменится на $1$. Но последняя цифра изменяется на $3$ (возможно, с переходом через десяток) – противоречие.

Чтобы $2023+\overline{abba}$ было палиндромом, оно должно быть пятизначным. Иначе в разряде сотен цифра $b$ увеличивается на $1$ или не изменяется, а в разряде десятков – на $2$ или $3$. Значит, первая цифра числа $2023+\overline{abba}$ – это $1$, а последняя цифра будет равна $1$ только при $a=8$. В разряде тысяч у числа $2023+\overline{8bb8}$ может быть либо $0$, либо $1$. Чтобы получить ту же цифру в разряде десятков, $b=8$ или $b=7$. Число $8888$ не подходит: $8888+2023=10911$, а вот $8778$ – интересное: $8778+2023 = 10801$.

Ответ

$969$ и $8778$.

Прислать комментарий

---

Задача 66623

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Площади криволинейных фигур ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.

Решение

Не умаляя общности, можно считать, что сторона квадрата равна 1. Заметим, что исходный криволинейный треугольник состоит из двух частей, из которых можно сложить квадрат со стороной 1. Поэтому нам достаточно доказать, что площадь любой из двух частей на рисунке слева равна $1/2$.

Самое сложное — посчитать площадь криволинейного треугольника $BLC$ (см. рисунок).

Из рисунка справа легко видеть, что площадь криволинейного треугольника $BLC$ равняется $\frac12\left(\frac{\pi\cdot (\sqrt{2})^2}{4}-1\right)=\frac{\pi}{4}-\frac12$. Но тогда площадь криволинейного треугольника $ALB$ (см. рисунок слева-сверху) равняется $\frac{\pi\cdot 1^2}{4}-\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac12$, что и требовалось.

Ответ

Ответ. С центром в точке $D$, проходящая через точку $L$ (см. рисунок вверху слева).

Прислать комментарий

---

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями