Версия для печати
Убрать все задачи

---

Улитка проползла по плоскости по контуру замкнутой несамопересекающейся $n$-звенной ломаной. Известно, что она двигалась только в трех направлениях: вверх, вправо и вниз-влево (под углом $45^{\circ}$ к горизонтали). Докажите, что $n$ нечётно.

   Решение

---

Дано натуральное $k$. На столе по кругу лежат $n$ внешне одинаковых монет массами $1$, $2$, $\ldots$, $n$ г. Вам известно, что эти массы идут по порядку, но неизвестно, по часовой стрелке или против, и с какого места начинаются. Одним взвешиванием разрешается сравнить любые две монеты и узнать, какая тяжелее. Барон Мюнхгаузен утверждает, что вы можете сделать $k$ взвешиваний так, чтобы по их результатам гарантированно определить массу хотя бы одной монеты. При каком наибольшем $n$ слова барона будут правдой?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67598

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дано натуральное $k$. На столе по кругу лежат $n$ внешне одинаковых монет массами $1$, $2$, $\ldots$, $n$ г. Вам известно, что эти массы идут по порядку, но неизвестно, по часовой стрелке или против, и с какого места начинаются. Одним взвешиванием разрешается сравнить любые две монеты и узнать, какая тяжелее. Барон Мюнхгаузен утверждает, что вы можете сделать $k$ взвешиваний так, чтобы по их результатам гарантированно определить массу хотя бы одной монеты. При каком наибольшем $n$ слова барона будут правдой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67601

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На каждой из сторон правильного $N$-угольника живёт робот. Каждый робот едет по своей стороне со своей постоянной скоростью, в вершине мгновенно разворачивается и продолжает ехать с той же скоростью в противоположном направлении, и так далее. Когда два робота встречаются в какой-то вершине, там вспыхивает искра. Могло ли оказаться, что в каждой вершине искры вспыхивают с одной и той же ненулевой частотой, если

а) $N=3$;

б) $N=5$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67613

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ – квадрат натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67602

Темы:   [ Ломаные ] [ Четность и нечетность ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Улитка проползла по плоскости по контуру замкнутой несамопересекающейся $n$-звенной ломаной. Известно, что она двигалась только в трех направлениях: вверх, вправо и вниз-влево (под углом $45^{\circ}$ к горизонтали). Докажите, что $n$ нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67603

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Дано натуральное $k$. На столе по кругу лежат $n$ внешне одинаковых монет массами $1$, $2$, $\ldots$, $n$ г. Вам известно, что эти массы идут по порядку, но неизвестно, по часовой стрелке или против, и с какого места начинаются. Барон Мюнхгаузен утверждает, что вы можете сделать $k$ взвешиваний на чашечных весах без гирь так, чтобы по их результатам гарантированно определить массу хотя бы одной монеты. При каком наибольшем $n$ слова барона будут правдой? (На каждую чашу помещается сколько угодно монет.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями