Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]

Задача 73606 (#М71)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73607 (#М72)

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73608 (#М73)

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Дискретное распределение	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы
а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73609 (#М74)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – ^a/₂)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 73610 (#М75)

Темы:	[	Обходы многогранников	]
	[	Параллельное проектирование (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Кушниренко А.Г.

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]