Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 2. Комбинаторика >> параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Вниз   Решение

Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M1 и N1. Докажите, что если MM1 = NN1, то AD| BC.

ВверхВниз   Решение

Положительные числа x, y, z таковы, что  xyz = 1.  Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников  AOD, AOB, BOC и COD равны  r1, r2, r3 и r4 соответственно. Докажите, что $ {\frac{1}{r_1}}$ + $ {\frac{1}{r_3}}$ = $ {\frac{1}{r_2}}$ + $ {\frac{1}{r_4}}$.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC отмечены точки D и K соответственно, а на стороне AC отмечены точки E и M так, что DA + AE = KC + CM = AB. Отрезки DM и KE пересекаются. Найдите угол между ними.

ВверхВниз   Решение

В театральной труппе 60 актеров. Каждые два хотя бы раз играли в одном и том же спектакле. В каждом спектакле занято не более 30 актеров.
Какое наименьшее количество спектаклей мог поставить театр?

ВверхВниз   Решение

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение

Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

ВверхВниз   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

ВверхВниз   Решение

Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.

ВверхВниз   Решение

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

ВверхВниз   Решение

Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что AX = BY и XY| AC.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис.). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.


ВверхВниз   Решение

Есть 2018 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 2018 г. Заяц положил на одну чашу весов две гирьки. Волк хотел двумя другими гирьками на другой чаше их уравновесить, но не смог. Какие гирьки мог взять Заяц?

ВверхВниз   Решение

На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

  с решениями  

Задача 60419  (#02.085)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Найдите m и n зная, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 60420  (#02.086)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Какое слагаемое в разложении  (1 + )100  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60421  (#02.087)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Правило произведения ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:
  а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
  б) повторения цифр допустимы;
  в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60422  (#02.088)

Темы:   [ Перестановки и подстановки ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?

Прислать комментарий     Решение

Задача 76445  (#02.089)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .