- 7 класс, 1 тур (4 задачи)
- 8 класс, 1 тур (4 задачи)
- 9 класс, 1 тур (5 задач)
- 10 класс, 1 тур (4 задачи)
- 7 класс, 2 тур (4 задачи)
- 8 класс, 2 тур (4 задачи)
- 9 класс, 2 тур (5 задач)
- 10 класс, 2 тур (5 задач)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук
каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
a ≡ 68 (mod 1967), a ≡ 69 (mod 1968). Найти остаток от деления a на 14.
Доказать, что при чётном n 20n + 16n – 3n – 1 делится на 323.
12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды А, В, С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С – у А.
Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).
Доказать, что для любого n 1/81 (10n – 1) – n/9 – целое число.
30 команд сыграли турнир по олимпийской системе. Сколько всего было сыграно матчей?
Несколько команд сыграли между собой круговой турнир по волейболу. Будем говорить, что команда А сильнее команды B, если либо А выиграла у B, либо существует такая команда C, что А выиграла у C, а C – у B.
а) Докажите, что есть команда, которая сильнее всех.
б) Докажите, что команда, выигравшая турнир, сильнее всех.
Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдётся член, в котором есть 100 девяток подряд.
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение [x/10] = [x/11] + 1?
Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Найти остаток 1316 – 255·515 от деления на 3.
Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Задача 77951 |
|
|
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
|
|
Решение |
Задача 77952 |
|
|
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
|
|
Решение |
Задача 77955 |
|
|
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
|
|
|
Решение |
Задача 77956 |
|
|
Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место вершин C остроугольных треугольников ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 77959 |
|
|
Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
