Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

Вниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC высоты AH и CH пересекают стороны BC и AB в точках A1 и C1. Точки A2 и C2 симметричны относительно AC точкам A1 и C1. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников C2HA1 и C1HA2 равно AC.

ВверхВниз   Решение


Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

ВверхВниз   Решение


Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что числа Ферма  fn = 22n + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

ВверхВниз   Решение


n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 78188

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Ребусы ]
[ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78185

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Дана невозрастающая последовательность чисел   1/2k = a1a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... > 0,  a1 + a2 + ... + an + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78195

Тема:   [ Алгебраические неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны сто чисел x1, x2,..., x100, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  xk+1xk  меньше 1/50 каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78196

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78199

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .