Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так, что получился четырёхугольник, причём всюду трёхслойный.
Как это могло получиться?
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.
Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для
каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей
окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную
окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти
окружности имеют общую точку, отличную от точки B.
Докажите неравенство ( +
)8 ≥ 64xy(x + y)² (x, y ≥ 0).
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.
BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?
Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, AC и AB в точках A0, B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA0 в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на окружности ω.
Вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность, на меньших дугах AC и BC взяты их середины – K и P соответственно. Отрезок KP пересекает катет AC в точке N. Центр вписанной окружности треугольника ABC – I. Найти угол NIC.
Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?
Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч.
Каким стало расстояние между ними?
Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность
треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в
точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC
и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.
Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух
пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой
окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что
четырехугольник KLMN вписанный.
Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.
В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведена касательная AQ к
окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B
-- касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на
S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2 в
точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.
Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.
Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?
Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим,
что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то
их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда L — аффинное
преобразование.
Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 202]
Задача 79663 |
|
|
Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.
|
|
Решение |
Задача 79664 |
|
|
В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
|
|
|
Решение |
Задача 88284 |
|
|
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?
|
|
|
Решение |
Задача 88285 |
|
|
После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?
|
|
Решение |
Задача 88286 |
|
|
На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 202]
