- 11 класс, вариант А (6 задач)
- 11 класс, вариант Б (6 задач)
- 8 класс (6 задач)
- 9 класс (6 задач)
- 10 класс (6 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.
б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?
Решить в целых числах уравнение xy/z + xz/y + yz/x = 3.
Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение
За круглым столом сидят n человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?
Докажите, что если a1 = a2 и b1 = b2 (см. рис.), то x = y.
Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё в течение двух вечеров по шесть человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?
Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?
Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.
Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
Сколькими способами три человека могут разделить между собой шесть одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и
3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных
углов соответственно равны 4, 3, 5, 4
. Площадь
многоугольника равна S. Доказать, что S
10.
Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7°.
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]
Задача 86114 |
|
|
На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что A3B4 || AB.
|
|
Решение |
Задача 86122 |
|
|
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
|
|
Решение |
Задача 86105 |
|
|
На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
|
|
|
Решение |
Задача 86117 |
|
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
|
|
|
Решение |
Задача 86111 |
|
|
Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]
