Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
19 турнир (1997/1998 год)
>>
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
РешениеСъев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. Зато в другой раз он съел на пустой желудок семь поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего пострадает Волк, если съест на пустой желудок 11 козлят?
РешениеОкружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.
РешениеОдин из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
РешениеДима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
Решение
Задачи
Задача 98379 (#1) |
|
|
CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что AP = AQ. Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?
|
|
Решение |
Задача 98372 (#2) |
|
|
Верны ли утверждения:
а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных
многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.
|
|
|
Решение |
Задача 98373 (#3) |
|
|
Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).
Докажите, что результат а) целое число, б) квадрат целого числа.
|
|
|
Решение |
Задача 98374 (#4) |
|
|
а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
|
|
|
Решение |
Задача 98375 (#5) |
|
|
Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
