ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Вниз   Решение

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом  n > 3  можно найти многочлен вида  Pn(x) = xn + ... + ax² + bx + c,  имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  x + iy = (s + it)n,  то  x2 + y2 = (s2 + t2)n.

ВверхВниз   Решение

Автор: Сухов К.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

ВверхВниз   Решение

Автор: Филимонов В.П.

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

ВверхВниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]      

  с решениями  

Задача 60274  (#01.001)

 [Деление с остатком]
Тема:   [ Деление с остатком ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60275  (#01.002)

Тема:   [ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $ \geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = akqk + ak - 1qk - 1 +...+ a1q + a0,

где 0 $ \leqslant$ a0,..., ak < q
Прислать комментарий     Решение

Задача 60276  (#01.003)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть  a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   an+T = an  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60277  (#01.004)

Тема:   [ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $ \leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $ \geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60278  (#01.005)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Число x таково, что число x + $ {\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xn + $ {\frac{1}{x^n}}$ также является целым.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам