Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56972 (#05.120)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 6
Классы: 9

Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R₁, R₂ и R₃ — радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что R₁R₂R₃ = R³, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56973 (#05.121)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 6
Классы: 9

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ проходит через точки P и Q.

Прислать комментарий Решение

Задача 56974 (#05.122)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7
Классы: 9

На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\angle$ AB₁A₁ = $\angle$ BC₁B₁ = $\angle$ CA₁C₁. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 56975 (#05.122.1)

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Прислать комментарий Решение

Задача 56976 (#05.122.2)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 7+
Классы: 9

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2) $\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ , где a = BC (окружность Нейберга).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 1956]