Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56987 (#05.131)

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 5
Классы: 9

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.

Прислать комментарий Решение

Задача 56988 (#05.145B)

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 5
Классы: 9

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56989 (#05.145B1)

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6
Классы: 9

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56990 (#05.145B2)

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

Прислать комментарий Решение

Задача 56991 (#05.132)

Тема:

[

Точка Лемуана

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 1956]