Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57000 (#05.141)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57001 (#05.142)

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57002 (#05.143)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁.
Докажите, что одно из чисел ¹/_OA₁, ¹/_OB₁ и ¹/_OC₁ равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57003 (#05.144)

Темы:	[	Частные случаи треугольников (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если ∠A = 45°, то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57004 (#05.145)

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Взаимное расположение двух окружностей	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1956]