Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 185]
B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что
прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника,
отсекает от него равносторонний треугольник.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Трапеция ABCD вписана в окружность w (AD || BC). Окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются оснований трапеции BC и AD в точках P и Q соответственно. Точки X и Y – середины дуг BC и AD окружности w, не содержащих точек A и B соответственно. Докажите, что прямые XP и YQ пересекаются на окружности w.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC1 и BB1 пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A0 – середина стороны BC, а AA1 – высота. Прямые A0C1 и A0B1 пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA1, KLA0, A1B1C1 и окружность с диаметром AA1
пересекаются в одной точке.
Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного
треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N.
Пусть точка C движется по
описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при
этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной
окружности.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём
высотой такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 185]
Фильтр
