Страница:
<< 31 32 33 34 35
36 37 >> [Всего задач: 185]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же
окружности?
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а Ia и Ja – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJa и JIa лежит на биссектрисе угла BCD.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, OA – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки OB и OC определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников
ABC и OAOBOC.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB1C1 и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A1, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.
Страница:
<< 31 32 33 34 35
36 37 >> [Всего задач: 185]
Фильтр
