Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 470]

Задача 73615 (#М435)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Конягин С.В.

В таблице размерами m×n расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто k наибольших чисел (k ≤ m), в каждой строке – l наибольших чисел (l ≤ n). Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79345 (#М477)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {b_n} следующим образом: b₁ = 1, b_k+1 = P(b_k) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79341 (#М478)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Средние величины	]

Сложность: 4
Классы: 9

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52471 (#М582)

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

Прислать комментарий Решение

Задача 52393 (#М586)

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 470]