Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1983]

Задача 78520

Темы:	[	Системы показательных уравнений и неравенств	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решить в положительных числах систему:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\\ y^z&=&x,\\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\\ y^z&=&x,\\ z^x&=&y. \end{array}$

Прислать комментарий

Решение

Задача 78522

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K³ делится на 27 – K. Найти a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78524

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78526

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K¹⁹⁶⁴ делится без остатка на 27 – K. Найти a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78535

Темы:	[	Симметричная стратегия	]
Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1983]