Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1957]

Задача 78532

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 7

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

Прислать комментарий Решение

Задача 78538

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n $\ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 78545

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
Темы:	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78555

Тема:

[

Неравенства для элементов треугольника (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.

Прислать комментарий Решение

Задача 78562

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1957]