Страница:
<< 364 365 366 367
368 369 370 >> [Всего задач: 1854]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены
N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до
N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все
N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких
N Али-Баба сможет открыть пещеру?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось
100 кучек по одному камешку. Докажите, что
а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.
Страница:
<< 364 365 366 367
368 369 370 >> [Всего задач: 1854]
Фильтр
