Страница:
<< 361 362 363 364
365 366 367 >> [Всего задач: 1854]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
б) Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.
б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника
A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,
а) четырёх вечеров недостаточно,
б) пяти вечеров также недостаточно,
в) а десяти вечеров достаточно,
г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
Страница:
<< 361 362 363 364
365 366 367 >> [Всего задач: 1854]
Фильтр
