Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 827 828 829 830 831 832 833 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57491

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 5+
Классы: 8

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Прислать комментарий Решение

Задача 57529

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Прислать комментарий Решение

Задача 57533

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57611

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

а) Докажите, что если для некоторого треугольника p = 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если p = 2R sin $\varphi$ + rctg( $\varphi$ /2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 < $\varphi$ < $\pi$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 57612

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если

sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ (cos $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \gamma$ ),

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 827 828 829 830 831 832 833 >> [Всего задач: 4557]